Question

9．已知向量$\vec a=（2cosωx，cos2ωx），\overrightarrow b=（sinωx，1）$（其中ω＞0），令函数f（x）=$\vec a•\vec b$，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若方程 2f（x）+k=0在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上恒有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意和和差化积公式得到f（x）=$\sqrt{2}sin（{2ωx+\frac{π}{4}}）$．则由其最小正周期为π得到f（x）的函数式，利用正弦函数的单调性质即可求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）方程2f（x）+k=0在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上恒有解，则k的范围与-2f（x）在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上的取值范围相同．据此可以得到实数k的取值范围．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=2cosωxsinωx+cos2ωx$，
=sin2ωx+cos2ωx=$\sqrt{2}sin（{2ωx+\frac{π}{4}}）$．
∵f（x）的最小正周期为π，
∴ω=1，
从而  $f（x）=\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）$．
∵$f（x）=\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）$$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤-\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，即$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ，k∈Z$时，f（x）单调递增．
故f（x）的单调增区间为$[{-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ}]，k∈Z$；
（2）方程2f（x）+k=0在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上恒有解，则k的范围与-2f（x）在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上的取值范围相同．
当$x∈（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$时，$-2f（x）=-2\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）∈[{-2\sqrt{2}，2）}\right.$，
故$k∈[{-2\sqrt{2}，2）}\right.$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，求得 $f（x）=\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）$是关键，考查正弦函数的周期性、单调性及最值的应用，属于中档题．