Question

1．设函数f′（x）是奇函数f（x）的导函数，f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（-∞，-1）∪（0，1）．

Answer 1

分析 由已知当x＞0时总有xf′（x）-f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
则$g′（x）=\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵xf′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，
又∵g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}=\frac{-f（x）}{-x}=\frac{f（x）}{x}$=g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数．
又∵g（1）=$\frac{f（1）}{1}$=0，
∴函数g（x）的图象的大致形状如图：
不等式f（x）＞0?x•g（x）＞0，
由图可知：$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{g（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{g（x）＜0}\end{array}\right.$，
解得：0＜x＜1或x＜-1，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（-∞，-1）∪（0，1），
故答案为：（-∞，-1）∪（0，1）．

点评 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，由题意构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$是解答该题的关键，属中档题．