Question

13．已知函数f（x）=$\frac{（x-a）^{2}}{x}$．
（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+3=0垂直，求实数a的值；
（2）当a＞0时，函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若对于任意x∈（-∞，0），都有f（x）＜2a²-6恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用f′（1）=1-a²=-1，求实数a的值；
（2）当a＞0时，函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，等价于$\frac{{x}^{2}-{a}^{2}}{{x}^{2}}$≥0对1＜x＜2恒成立，可得x²-a²≥0对1＜x＜2恒成立，即a²≤x²对1＜x＜2恒成立，即可求实数a的取值范围；
（3）若对于任意x∈（-∞，0），都有f（x）＜2a²-6恒成立，分类讨论，求极值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{（x-a）^{2}}{x}$，∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}-{a}^{2}}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=1-a²，
∵曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+3=0垂直，
∴f′（1）=1-a²=-1，∴a=±$\sqrt{2}$；
（2）∵f（x）在区间（1，2）上递增，
∴f'（x）≥0对1＜x＜2恒成立，
∴$\frac{{x}^{2}-{a}^{2}}{{x}^{2}}$≥0对1＜x＜2恒成立．
∴x²-a²≥0对1＜x＜2恒成立，
即a²≤x²对1＜x＜2恒成立，
∵1＜x＜2，∴1＜x²＜4，
∴a²≤1，
∵a＞0，∴0＜a≤1；
（3）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-{a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+a）（x-a）}{{x}^{2}}$
令f'（x）=0，得x₁=a，x₂=-a
①当a=0时，f（x）=x，x∈（-∞，0）时，f（x）＜-6不能恒成立，不符合题意．
②当a＞0时，函数y=f（x）在（-∞，-a）上递增，在（-a，0）上递减，
∴函数y=f（x）在（-∞，0）上的极大值为f（-a）
若x∈（-∞，0）时，f（x）＜2a²-6恒成立，
则需f（x）_极大值=f（-a）＜2a²-6
即-4a＜2a²-6，
解得a＞1．
③当a＜0时，函数y=f（x）在（-∞，a）上递增，在（a，0）上递减，
∴函数y=f（x）在（-∞，0）上的极大值为f（a）
此时x∈（-∞，0），
若满足f（x）＜2a²-6恒成立，
则需f（x）_极大值=f（a）=0＜2a²-6
解得a＜-$\sqrt{3}$．
故若x∈（-∞，0）时，满足f（x）＜2a²-6恒成立，实数a∈（-∞，-$\sqrt{3}$）∪（1，+∞）

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．