Question

【题目】已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为.

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为坐标原点)，求实数取值范围.

Answer 1

【答案】（1）－y2＝1

（2）(－1，－)∪(，1)

【解析】

(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．

由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，

所以双曲线C的方程为－y2＝1．

(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，

由题意得

，

故k2≠且k2<1 ①．

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，

由·>2得xAxB＋yAyB>2，

xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，

于是>2，即>0，解得<k2<3 ②．

由①②得<k2<1，

所以k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．