Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点作直线l，交双曲线于A，B两点，且|AB|=2a，若这样的直线l有且只有一条，则双曲线离心率的取值范围是

e＞

2

．

Answer 1

分析：若过点F且|AB|=2a，若这样的直线l有且只有一条，利用双曲线的对称性，则该直线的必定垂直于x轴．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．

解答：解：已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，
若过点F且|AB|=2a，若这样的直线l有且只有一条，
则此直线必为X轴，且两点都在右支上的弦都大于2a
据双曲线的对称性，作出垂直于x轴直线，其对应弦是图中的线段AB，只需要AB＞2a即可．
由于|AB|=2|AF₁|=2

b 2( c 2 a 2 -1)

=

2b 2

a

令|AB|＞2a，
∴

2b 2

a

＞2a，
即

c 2-a 2

a

＞a，

c

a

＞

2

，
则双曲线离心率的取值范围是e＞

2

故答案为：e＞

2

．

点评：本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．