Question

已知α-l-β是大小为45°的二面角，C为二面角内一定点，且到平面α和β的距离分别为

2

和6，A，B分别是半平面α，β内的动点，则△ABC周长的最小值为

 

．

Answer 1

分析：本题要进行正确转化，可以作出C关于两个平面α，β对称点，分别点M，N，连接M，N，则线段MN的长度即为△ABC周长的最小值此时线段MN与两个平面的交点坐标分别为A，B

解答：解：作出C关于两个平面α，β对称点，分别点M，N，连接M，N，线段MN与两个平面的交点坐标分别为A，B
则△ABC周长L=AB+AC+BC=AB+AM+BN=MN，
由两点之间线段最短可以得出MN即为△ABC周长的最小值，求此最小值即MN的长度，在△CMN中求解
由已知C为二面角内一定点，且到半平面α和β的距离分别为

2

和6，不妨令CA=

2

和CB=6
可得出CM=2

2

，CN=12
又α-l-β是大小为45度的二面角，线段CM与线段CN与两个平面的交点即点C在两个平面上的垂足分别为Q，P，
过点P作PO垂直两平面的交线于O，连接QO，则角POQ=45°，故可得角MCN=135°
∴MN2=CM²+CN²-2×CN×CM×cos135°=8+144+48=200
∴MN=10

2

故答案为：10

2

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查根据题目中所给的条件进行图形推理的能力，先利用位置关系作出所求的量，再根据图形中相关的位置关系求出线段的长度，是立体几何中常见的思路．