Question

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax2-2x，a∈R．
（1）若f（x）在x=1处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值．
（2）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求切线斜率即可．（2）若f（x）存在单调递减区间，则f'（x）＜0有解．

解答：解：函数的定义域为{x|x＞0}．
（1）因为f（x）在x=1处的切线与直线x+y=0垂直，所以f（x）在x=1处的切线斜率k=1，
因为f（x）=lnx-

1

2

ax2-2x，所以f′(x)=

1

x

-ax-2，
则f（x）在x=1处的切线斜率k=f'（1）=1-a-2=1，解得a=-2．
（2）若f（x）存在单调递减区间，则f'（x）＜＜0有解，则f′(x)=

1

x

-ax-2＜0．
即ax＞

1

x

-2，在x＞0时成立，所以a＞

1

x2

-

2

x

成立即可．
由y=

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1≥1得，a＞1．
故a的取值范围a＞1．

点评：本题主要考查导数基本运算以及导数的几何意义，以及函数的单调性与导数之间的关系．