Question

【题目】已知函数f（x）＝x3﹣ax2+bx+c（a，b，c∈R）．

（1）若函数f（x）在x＝﹣1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；

（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）； （2）(－∞，－18)∪(54，＋∞).

【解析】

(1)根据函数的极值的概念得到方程组解出参数值即可；（2）对函数求导得到函数的单调性和极值，进而得到函数的最大值为c＋54，要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可.

(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，

∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，

∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．

∴ ∴.

经检验满足题意.

(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，

f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.

当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，

∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，

要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，

当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54 ，

当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18.

∴c∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为实数c的取值范围．