Question

【题目】已知函数，存在，使得函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

f′（x）＝aex﹣lnx﹣1，根据存在n∈N，使得函数f（x）在区间（n，n+2）上有两个极值点，可得方程f′（x）＝0必有两个不等根，等价于a在区间（n，n+2）上有两个不等根，等价于函数y＝a与g（x）在区间（n，n+2）上有两个不同的交点．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

f′（x）＝aex﹣lnx﹣1，∵存在n∈N，使得函数f（x）在区间（n，n+2）上有两个极值点，

∴方程f′（x）＝0必有两个不等根，等价于a在区间（n，n+2）上有两个不等根，

等价于函数y＝a与g（x）在区间（n，n+2）上有两个不同的交点．

g′（x），

令h（x）＝1﹣x（lnx+1），h′（x）＝﹣（lnx+2）．

可得x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0；x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0．

∴x＝e﹣2时，函数h（x）取得极大值h（e﹣2）＝1+e﹣2．

又h（1）＝0，x→0+时，h（x）→1．

∴取n＝0，区间为（0，2）．

g′（1）＝0．

x∈（0，1）时，函数g（x）单调递增；x∈（1，2）时，函数g（x）单调递减．

∴x＝1时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）．

x→0+时，g（x）→﹣∞；x＝2时，g（2）．

∴实数a的取值范围是．

故选：B．