Question

【题目】如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为6，底面正方形ABCD的中心在坐标原点，棱AD，BC平行于x轴，AB，CD平行于y轴，顶点P在z轴的正半轴上，点M，N分别在线段PA，BD上，且．

（1）求直线MN与PC所成角的大小；

（2）求锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）首先建立空间直角坐标系，然后求出M，N，P，C点坐标，根据点坐标即可求出直线MN与PC所成角的大小；

（2）首先求出平面APN与平面PND的法向量，根据二面角公式即可求出二面角A﹣PN﹣D的余弦值.

解：（1）如图，已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为6，

，，，，，

设，，

由，得，，

即，所以，，，

由，得，故，

所，，

所以，

所以直线MN与PC所成的角为；

（2）因为AC平面PBD，设平面PBD的法向量，

设平面PAN的法向量为，，，

由，得，故，

所以，

故锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值为．