【题目】已知函数.
(Ⅰ)判断并证明的单调性;
(Ⅱ)若不等式,对恒成立,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)当时,在上是增函数;当时, 在上是减函数,在上是增函数. 证明见解析. (Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ),分和两种情况进行讨论可得出答案.
(Ⅱ)根据图象可得,当时,不等式不是恒成立的,讨论的情况满足,当时,在处取得最小值,所以,即可得出答案.
(Ⅰ)
当时,,在上是增函数;
当时,令,解得
当时,,在上是减函数;
综上所述:当时,在上是增函数;
当时, 在上是减函数,在上是增函数.
(Ⅱ)不等式,对恒成立,即在上恒成立.
由(Ⅰ)可知,当时,函数,的图象如图.
根据图象可得,当时,不等式不是恒成立的.
当时, 不等式是恒成立的.
当时,由(Ⅰ)可知,在处取得最小值.
即,所以,则
综上所述:的取值范围是:.
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【题目】某次数学测验共有12道选择题,每道题共有四个选项,且其中只有一个选项是正确的,评分标准规定:每选对1道题得5分,不选或选错得0分. 在这次数学测验中,考生甲每道选择题都按照规则作答,并能确定其中有9道题能选对;其余3道题无法确定正确选项,在这3道题中,恰有2道能排除两个错误选项,另1题只能排除一个错误选项. 若考生甲做这3道题时,每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项作答,且各题作答互不影响.在本次测验中,考生甲选择题所得的分数记为
(1)求的概率;
(2)求的分布列和数学期望.
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【题目】已知椭圆的短轴长为4,离心率为,斜率不为0的直线l与椭圆恒交于A,B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点M.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线l是否过定点,如果过定点,求出该定点的坐标;如果不过定点,请说明理由.
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【题目】函数在上的最大值为,.
(1)若点在的图象上,求函数图象的对称中心;
(2)将函数的图象向右平移个单位,再将所得的图象纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,得函数的图象,若在上为增函数,求的最大值.
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【题目】如图,在空间直角坐标系O﹣xyz中,已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为6,底面正方形ABCD的中心在坐标原点,棱AD,BC平行于x轴,AB,CD平行于y轴,顶点P在z轴的正半轴上,点M,N分别在线段PA,BD上,且.
(1)求直线MN与PC所成角的大小;
(2)求锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值.
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【题目】已知函数()
(1)若,用“五点法”在给定的坐标系中,画出函数在[0,π]上的图象.
(2)若偶函数,求
(3)在(2)的前提下,将函数的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求在的单调递减区间.
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【题目】以下说法中,正确的是_____.(填上所有正确说法的序号):
①已知角终边上一点,则;
②函数的最小正周期是;
③把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象;
④数的图象关于对称;
⑤函数在上有零点,则实数的取值范图是.
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