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    【题目】已知椭圆的短轴长为4，离心率为，斜率不为0的直线l与椭圆恒交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点M．

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）直线l是否过定点，如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由．

    【答案】（1）；（2）直线过定点．

    【解析】

    （1）由题可知，，再结合，即可求出的值，从而得出椭圆的标准方程；

    （2）因为直线l斜率不为，所以设直线l：x＝ty+m，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得，，，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，可得0，从而求出，即可得出定点坐标．

    （1）由题，，

    所以椭圆的标准方程为．

    （2）由题设直线：，，

    联立直线方程和椭圆方程，得，

    ∴，，．

    因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，

    所以，

    整理得或，

    又当时，直线过椭圆右定点，此时直线与直线不可能垂直，

    ∴，

    ∴直线过定点．

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