【题目】函数 (为实数).
(1)若,求证:函数在上是增函数;
(2)求函数在上的最小值及相应的的值;
(3)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)函数在上是增函数;(2)见解析;(3).
【解析】试题分析:(1)当时, 在(0,+∞)上恒成立,故函数在(1,+∞)上是增函数;
(2)求导) ,当x∈[1,e]时, .分①,②,③,三种情况得到函数f(x)在[1,e]上是单调性,进而得到[f(x)]min;
(3)由题意可化简得到,令,利用导数判断其单调性求出最小值为.
试题解析:
(1)当时, ,其定义域为,
,
当时, 恒成立,
故函数在上是增函数.
(2) ,
当时, ,
①若, 在上有 (仅当, 时, ),
故函数在上是增函数,此时;
②若,由,得,
当时,有,此时在区间上是减函数;
当时,有,此时, 在区间上是增函数,
故;
③若, 在上有 (仅当, 时, ),
故函数在上是减函数,此时
综上可知,当时, 的最小值为1,相应的的值为1;
当时, 的最小值为,相应的值为;
当时, 的最小值为,相应的的值为.
(3)不等式可化为,
因为,所以,且等号不能同时取,
所以,即,
所以,
令,
则,
当时, , ,
从而 (仅当时取等号),
所以在上为增函数,所以的最小值为,
所以实数的取值范围为.
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【题目】某品牌手机销售商今年1,2,3月份的销售量分别是1万部,1.2万部,1.3万部,为估计以后每个月的销售量,以这三个月的销售为依据,用一个函数模拟该品牌手机的销售量y(单位:万部)与月份x之间的关系,现从二次函数 或函数 中选用一个效果好的函数行模拟,如果4月份的销售量为1.37万件,则5月份的销售量为__________万件.
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【题目】设某校新、老校区之间开车单程所需时间为, 只与道路畅通状况有关,对其容量为的样本进行统计,结果如图:
(分钟) | 25 | 30 | 35 | 40 |
频数(次) | 20 | 30 | 40 | 10 |
(1)求的分布列与数学期望;
(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.
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【题目】已知直线与椭圆相交于两点,与轴, 轴分别相交于点和点,且,点是点关于轴的对称点, 的延长线交椭圆于点,过点分别做轴的垂线,垂足分别为.
(1) 若椭圆的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点在椭圆上,求椭圆的方程;
(2)当时,若点平分线段,求椭圆的离心率.
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【题目】如图,我海监船在岛海域例行维权巡航,某时刻航行至处,此时测得其东北方向与它相距海里的处有一外国船只,且岛位于海监船正东海里处.
(1)求此时该外国船只与岛的距离;
(2)观测中发现,此外国船只正以每小时海里的速度沿正南方向航行,为了将该船拦截在离岛海里处,不让其进入岛海里内的海域,试确定海监船的航向,并求其速度的最小值.(参考数据:,)
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【题目】设命题是的必要而不充分条件;
设命题实数满足方程表示双曲线.
(1)若“”为真命题,求实数的取值范围;
(2)若“”为假命题,“”为真命题,求实数的取值范围.
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