Question

已知P是以F₁、F₂为焦点的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，若

PF1

•

PF2

=0，tan∠PF₁F₂=2，求该椭圆的离心率．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设|PF₁|=m，根据△PF₁F₂为直角三角形和tan∠PF₁F₂=2，可分别表示出|PF₂|和|F₁F₂|，运用椭圆的定义进而表示出a和c，最后根据e=

c

a

，求得答案．

解答： 解：由题意得△PF₁F₂为直角三角形，
设|PF₁|=m，
由于tan∠PF₁F₂=

|PF2|

|PF1|

=2，
∴|PF₂|=2m，
又由勾股定理得，|F₁F₂|=

5

m，
∴椭圆的离心率e=

c

a

=

2c

2a

=

5 m

m+2m

=

5

3

．

点评：本题考查椭圆的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．