Question

f(x)=

3

cos2

1

2

x+sin

1

2

xcos

1

2

x．
（Ⅰ）将f（x）化为Asin（ωx+?）+k(ω＞0，0＜φ＜

π

2

)的形式；
（Ⅱ）写出f（x）的最值及相应的x值；
（Ⅲ）若-

π

3

＜α＜

π

6

，且f(α)=

3

5

+

3

2

，求cos2α．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理可得结果．
（II）利用正弦函数的性质求得函数的最大值和相应的x的值．
（III）根据题意可得sin(α+

π

3

)=

3

5

，结合α的范围可得cos(α+

π

3

)=

4

5

，再根据二倍角公式计算出sin(2α+

2π

3

)与 cos(2α+

2π

3

)，再根据cos2α=cos[(2α+

2π

3

)-

2π

3

]结合两角和公式求出答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：f(x)=

3

cos2

1

2

x+sin

1

2

xcos

1

2

x
=

3

•

1+cosx

2

+

1

2

sinx
=sin(x+

π

3

)+

3

2

．
（Ⅱ）当x+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈Z即x=2kπ-

5π

6

，k∈Z时，
所以当x=2kπ-

5π

6

，k∈Z时f（x）得到最小值-1+

3

2

．
当x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z即x=2kπ+

π

6

，k∈Z
所以当x=2kπ+

π

6

，k∈Z时，f（x）得到最大值1+

3

2

．
（Ⅲ）由题意可得：因为f(α)=sin(α+

π

3

)+

3

2

=

3

5

+

3

2

所以sin(α+

π

3

)=

3

5

∵-

π

3

＜α＜

π

6

，
∴0＜α+

π

3

＜

π

2

，
∴cos(α+

π

3

)=

4

5

∴sin(2α+

2π

3

)=2sin(α+

π

3

)•cos(α+

π

3

)=

24

25

cos(2α+

2π

3

)=2cos2(α+

π

3

)-1=

7

25

∴cos2α=cos[(2α+

2π

3

)-

2π

3

]
=cos(2α+

2π

3

)cos

2π

3

+sin(2α+

2π

3

)sin

2π

3

=

24 3 -7

50

．

点评：本题主要考查了利用两角和公式，二倍角公式和诱导公式进行化简求值，以及三角函数的性质等．