Question

已知椭圆的焦点是F₁（0，-1）和F₂（0，1），离心率e=

1

2

，
（I）求此椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P在此椭圆上，且有|PF₁|-|PF₂|=1，求∠F₁PF₂的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根据题意可得：c=1，e=

c

a

=

1

2

，解得a=2，b=

3

，进而写出椭圆的方程．
（Ⅱ）由椭圆的定义得：|PF₁|+|PF₂|=2a=4，结合题意可得：|PF₁|=

5

2

，|PF₂|=

3

2

，再根据余弦定理求出答案即可．

解答：解：（I）由已知可设椭圆的方程为：

x2

b 2

+

y2

a 2

=1（a＞b＞0），…（2分）
由条件知c=1，e=

c

a

=

1

2

，
解得a=2，…（4分）
所以b²=a²-c²=3．…（5分）
所以椭圆的标准方程方程为

y2

4

+

x2

3

=1…（6分）
（Ⅱ）因为点P在椭圆

y2

4

+

x2

3

=1上，
 所以|PF₁|+|PF₂|=2a=4；…（8分）
又因为|PF₁|-|PF₂|=1，解得|PF₁|=

5

2

，|PF₂|=

3

2

，…（10分）
在△ABC中，cos∠F1PF2=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

( 5 2 )2+( 3 2 )2-22

2× 5 2 × 3 2

=

3

5

，

所以∠F₁PF₂的余弦值为

3

5

．    …（12分）

点评：本题主要考查椭圆的定义与椭圆的性质，以及余弦定理．