Question

给出下列命题：
①“x=2”是“x²=4”的充分不必要条件；
②设A={x||x|≤3}，B={y|y=-x²+t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范围为[3，+∞）；
③若log₂x+log_x2≥2，则x＞1；
④存在x，y∈R，使sin（x-y）=sinx-siny；
⑤若命题P：对任意的x∈R，函数y=cos(2x-

π

3

)的递减区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)，命题q：存在x∈R，使tanx=1，则命题“p且q”是真命题．
其中真命题的序号为

①③④

．

Answer 1

分析：根据充要条件的定义，可以判断①的真假；
解绝对值不等式求出A，根据二次函数的性质可以求出B，进而根据集合交集的定义，可判断②的真假；
根据对数的运算性质及基本不等式，可以判断③的真假；
令x=y=0时，可判断④的真假；
根据余弦函数的单调性，可以判断⑤的真假．

解答：解：当“x=2”时，“x²=4”成立，当“x²=4”时，“x=±2”故“x=2”不一定成立，即①“x=2”是“x²=4”的充分不必要条件正确；
A={x||x|≤3}=[-3，3]，B={y|y=-x²+t}=（-∞，t]，若A∩B=φ，则实数t的取值范围（-∞，-3），故②错误；
当x＞1时，log₂x＞0，log_x2＞0，log₂x+log_x2≥2

log2x•logx2

=2，但0＜x＜1时，log₂x＜0，log_x2＜0，log₂x+log_x2≤-2

log2x•logx2

=-2，
故log₂x+log_x2≥2时，x＞1，即③正确；
当x=y=0时，sin（x-y）=sin（0）=0=sin0-sin0=0，故④正确；
命题P：由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π（k∈Z），得x∈[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)，故对任意的x∈R，函数y=cos(2x-

π

3

)的递减区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)是假命题，则命题“p且q”是假命题，故⑤错误
故答案为：①③④

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，充要条件，不等式的解法，集合的运算，对数的运算性质，基本不等式，正弦函数的定义，及余弦函数的单调性，熟练掌握上述基本知识点是解答的关键．