Question

给出下列命题
①存在x∈(0，

π

2

)，使sinx+cosx=

1

3

；
②存在区间（a，b），使y=cosx为减函数而sinx＜0；
③y=tanx在其定义域内为增函数；
④y=cos2x+sin(

π

2

-x)既有最大值和最小值，又是偶函数；
⑤y=sin|2x+

π

6

|的最小正周期为π．
其中错误的命题为

①②③⑤

（把所有符合要求的命题序号都填上）

Answer 1

分析：①由已知可得sinxcosx=-

4

9

＜0，则当x∈(0，

1

2

π)不符合题意；②结合正弦函数与余弦函数的图象可知，不存在区间使y=cosx为减函数而sinx＜0；③y=tanx在区间（-

1

2

π+kπ，

1

2

π+kπ），（k∈Z）上单调递增，但是在定义域内不是增函数；④y=cos2x+sin(

π

2

-x)=cos²x+cosx=(cosx+

1

2

)2-

1

4

，可判断函数的最值的情况，及函数的奇偶性⑤结合函数的图象可知，y=sin|2x+

π

6

|的最小正周期为

1

2

π．

解答：解：①若sinx+cosx=

1

3

，则有1+2sinxcosx=

1

9

，即sinxcosx=-

4

9

＜0，则当x∈(0，

1

2

π)不符合题意，故①错误
②结合正弦函数与余弦函数的图象可知，不存在区间使y=cosx为减函数而sinx＜0；故②错误
③y=tanx在（-

1

2

π+kπ，

1

2

π+kπ），k∈Z上单调递增，但是在定义域内不是增函数；故③错误
④y=cos2x+sin(

π

2

-x)=cos²x+cosx=(cosx+

1

2

)2-

1

4

，当cosx=-

1

2

时，函数有最小值，当cosx=1时，函数有最大值，从而可知函数既有最大值和最小值，又f（-x）=cos²（-x）+cos（-x）=cos²x+cosx=f（x），可得函数是偶函数；故④正确
⑤结合函数的图象可知，y=sin|2x+

π

6

|不是周期函数．故⑤错误
故答案为：①②③⑤

点评：本题主要考查了函数的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握函数的基本性质、常见的结论，并能灵活应用