Question

已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+

3

，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．
（1）求证：FG∥面BCD；
（2）设四棱锥D-ABCE的体积为V，其外接球体积为V′，求V：V′的值．

Answer 1

分析：（1）取AB中点H，连接GH，FH，利用三角形中位线定理，我们易判断GH∥BD，FH∥BC，进而根据面面平行的判定定理，得到面FHG∥面BCD，结合面面平等的性质，即可得到结论．
（2）由已知中AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+

3

，代入棱锥体积公式，易求出棱锥的体积，又E点三条棱互相垂直，故棱锥的外接球半径与以AE，CD，DE为棱长的长方体的外接球半径相等，求出外接球半径后，即可得到V：V′的值．

解答：解：
（1）证明：取AB中点H，连接GH，FH，
∴GH∥BD，FH∥BC，
∴GH∥面BCD，FH∥面BCD
∴面FHG∥面BCD，
∴GF∥面BCD（6分）
（2）V=

1

3

×2×1×

3

=

2

3

3

又外接球半径R=

1

2

12+22+( 3 )2

=

2

∴V′=

4

3

π•2

2

=

8 2

3

π
∴V：V′=

6

8π

（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平等的判定及棱锥和球的体积，其中根据E点三条棱互相垂直，故棱锥的外接球半径与以AE，CD，DE为棱长的长方体的外接球半径相等，求出外接球半径是解答本题的关键点．