Question

已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，且AB=2，AD=3，CD=1，点E、F分别在AD、BC上，满足AE=

1

3

AD，BF=

1

3

BC．现将此梯形沿EF折叠成如图所示图形，且使AD=

3

．
（1）求证：AE⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-CE-A的大小．

Answer 1

分析：（1）欲证AE⊥平面ABCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AE与平面ABCD内两相交直线垂直，而EA⊥AD，EA⊥AB，AB∩AD=A，满足定理条件
（2）由图，可以A为原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，由向量运算求出两个平面的法向量，再由数量积公式求出两个平面的夹角的余弦值．

解答：解：（1）折叠后由已知：AE=

1

3

AD=1，DE=2，AD=

3

，∴AE²+AD²=DE²，即：AE⊥AD，又AE⊥AB，AD∩AB=A，∴AE⊥平面ABCD
（2）（Ⅱ）解：以点A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(

3

，1，0)，E(0，0，1)，D(

3

， 0，0)，

DC

=（0，1，0），

DE

=（-

3

，0，1）
设平面DCE的一个法向量为

m

=（x，y，z），则

m • DC =y=0 m • DE =- 3 x+z=0

取x=1则得出

m

=（1，0，

3

）
设平面CEA的一个法向量为

n

=（x′，y′，z′）

AC

=(

3

， 1，0)，

AE

=（0，0，1）

n • AC = 3 x′+y′=0 n • AE =z′=0

取x=1，则得

n

=（1，-

3

，0）
故cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2×2

=

1

4

，
所以二面角D-CE-A的大小arccos

1

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，用空间向量求二面角的夹角．考查考查空间想象、推理论证、计算能力．利用向量求解决立体几何问题是近几年高考的热点，向量法解决立体几何问题降低了思维难度，化推理为计算，使得几何求解、证明变得简单，此法也有不足，需要建立坐标系，且运算量较大．