Question

已知x轴上的点A₁，A₂…，A_n满足=（n≥2，n∈N^*），其中A₁（1，0），A₂（5，0）；点B₁，B₂，…B_n，…在射线y=x（x≥0）上，满足||=||+2 （n∈N^*），其中B₁（3，3）．
（1）用n表示点A_n与B_n的坐标；
（2）设直线A_nB_n的斜率为k_n，求k_n的值；
（3）求四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积S的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意，
∵A₁（1，0），A₂（5，0），∴x₂-x₁=4
∴{x_n-x_n-1}是以4为首项，为公比的等比数列
∴
∴x_n=x₁+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=1+4+…+=9-2^4-n
∴A_n（9-2^4-n，0）；
∵射线y=x（x≥0）上，满足||=||+2 （n∈N^*），
∴x_n+1=+2
∴x_n+1-x_n=2
∵B₁（3，3）．
∴{x_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴x_n=2n+1
∴B_n（2n+1，2n+1）；
（2）设直线A_nB_n的斜率为k_n=，∴k_n==1；
（3）四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积S=（9-2^3-n）（2n+3）-=
设a_n=，则a_n+1=
∵a_n+1-a_n=[]-[]=
∴a₂＞a₁，a₂＞a₃＞a₄＞a₅＞…
∴a₂最大，为12
∴四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积S的取值范围为（-∞，12]．
分析：（1）根据=，可得，从而可得{x_n-x_n-1}是以4为首项，为公比的等比数列；利用射线y=x（x≥0）上，满足||=||+2 （n∈N^*），可得{x_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可用n表示点A_n与B_n的坐标；
（2）确定直线A_nB_n的斜率为k_n=，从而可求k_n的值；
（3）四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积S=（9-2^3-n）（2n+3）-=，确定函数的单调性，从而可求四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积S的取值范围．
点评：本题考查数列的证明，考查数列通项的求解，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．