Question

已知x₁，x₂是函数f（x）=4cosωxsin（ωx+

π

6

）+1两相邻零点，且满足|x₁-x₂|=π，其中ω＞0．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用两相邻零点的距离推断出函数的最小正周期，进而求得ω．
（2）根据x的范围，确定2x+

π

6

的范围，利用三角函数的性质求得函数的最大和最小值．

解答： 解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+

π

6

）+1=2

3

sinωxcosωx+2cos²ωx+1=2（

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx）+2=2sin（2ωx+

π

6

）+2，
∵|x₁-x₂|=π，
∴T=

2π

2ω

π，
∴ω=1．
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2，
∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
∴当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取最大值4，
当2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

时，f（x）取最小值1．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．