Question

对于函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得对于区间D上的任意实数x都有f（x）≤g（x）成立，则称g（x）为函数f（x）区间D上的一个“覆盖函数”．设f（x）=-2xlnx-x²，g（x）=-ax+3．若g（x）为函数f（x）在区间（0，+∞）上的一个“覆盖函数”，则实数a的取值范围是（　　）

Answer 1

分析：由题意知f（x）≤g（x）即-2xlnx-x²≤-ax+3在区间（0，+∞）上恒成立，也即a≤2lnx+x+

3

x

在区间（0，+∞）上恒成立，从而问题转化为求函数的最值问题解决．

解答：解：因为g（x）=-ax+3为函数f（x）=-2xlnx-x² 在区间（0，+∞）上的一个“覆盖函数”，
所以 f（x）≤g（x）即-2xlnx-x²≤-ax+3在区间（0，+∞）上恒成立，也即a≤2lnx+x+

3

x

在区间（0，+∞）上恒成立，
令h（x）=2lnx+x+

3

x

，则h′（x）=

2

x

+1-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

，
由h′（x）＜0得0＜x＜1，由h′（x）＞0得x＞1，
所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以当x=1时h（x）取得最小值h（1）=4，
又a≤2lnx+x+

3

x

在区间（0，+∞）上恒成立等价于a≤h_min（x），
所以a≤4．故a的取值范围为：（-∞，4]．
故选B．

点评：本题是新定义题，考查函数恒成立问题，考查分析问题解决问题的能力，对于恒成立问题往往转化为函数最值问题处理．