Question

已知函数f（x）=2cos²x+sin2x+a-1（a∈R），
（1）当a=1时，求f（x）的周期和值域；
（2）当f（x）=0在[0，

π

2

]上有且仅有两个实数解时，求a的取值范围．

Answer 1

分析：利用二倍角公式对函数化简可得，f（x）=2cos²x+sin2x+a-1=cos2x+sin2x+a=

2

sin(2x+

π

4

)+a
（1）当a=1时，f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+1，利用周期T=

2π

ω

可求T，结合-1≤sin(2x+

π

4

)≤1可求函数的值域
（2）f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+a=0可得-a=

2

sin(2x+

π

4

)，由x∈[0，

π

2

] 可得2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，结合正弦函数的图象可求a的范围

解答：解：∵f（x）=2cos²x+sin2x+a-1=cos2x+sin2x+a=

2

sin(2x+

π

4

)+a
（1）当a=1时，f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+1
周期T=

2π

2

=π
-1≤sin(2x+

π

4

)≤1
-

2

+1≤

2

sin(2x+

π

4

)+1≤1+

2

值域[1-

2

，1+

2

]；
（2）f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+a=0可得-a=

2

sin(2x+

π

4

)
∵x∈[0，

π

2

]∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
结合正弦函数的图象可知，要使得方程-a=

2

sin(2x+

π

4

)在x∈[0，

π

2

]上有2个根
则1≤-a＜

2

∴-

2

＜a≤-1

点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式在三角函数化简中的应用，还考查了三角函数的周期的求解，值域的求解，解答的关键是熟练利用正弦函数的图象．