Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωx•cosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（ω＞0）的图象与直线y=1的两个相邻交点间的距离为π
（Ⅰ）当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （I）使用二倍角公式化简得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），根据周期计算出ω，根据x的范围得出2ωx+$\frac{π}{3}$的范围，利用正弦函数的单调性求出f（x）的最值；
（II）根据正弦函数的单调性列出不等式解出．

解答 解：（I）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$sin2ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）．
∵f（x）的图象与直线y=1的两个相邻交点间的距离为π，即f（x）的周期为π，
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，即ω=1．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
若x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]，则2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
∴当2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值-$\frac{1}{2}$，当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值1．
∴f（x）的值域是[-$\frac{1}{2}$，1]．
（II）由（I）得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ．
∴f（x）的单调增区间是[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．