Question

10．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=$\sqrt{5}$，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，可得BO⊥AC，在Rt△ACD′中，AC=$\sqrt{6}$．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．CO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，CE=$\frac{{D}^{′}{C}^{2}}{CA}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，EO=CO-CE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，BF=EO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．EF=BO=$\frac{\sqrt{30}}{2}$．则∠FED′为二面角D′-CA-B的平面角，设为θ．利用余弦定理求出D′F²的最小值即可得出．

解答 解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，
在Rt△ACD′中，$AC=\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{6}$．
作D′E⊥AC，垂足为E，D′E=$\frac{1×\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
CO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，CE=$\frac{{D}^{′}{C}^{2}}{CA}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴EO=CO-CE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．
则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
EF=BO=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{2}$．
则∠FED′为二面角D′-CA-B的平面角，设为θ．
则D′F²=$（\frac{\sqrt{30}}{6}）^{2}$+$（\frac{\sqrt{30}}{2}）^{2}$-2×$\frac{\sqrt{30}}{6}×\frac{\sqrt{30}}{2}$cosθ=$\frac{25}{3}$-5cosθ≥$\frac{10}{3}$，cosθ=1时取等号．
∴D′B的最小值=$\sqrt{\frac{10}{3}+（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=2．
∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值=$\frac{BF}{{D}^{′}B}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．