Question

18．如图，AB切圆O于点A，AC为圆O的直径，BC交圆O于点D，E为CD的中点，若BD=5，AC=6，则AE=2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 连接OE，可得OE⊥CE，AB切圆O于点A，可得AB⊥AC，设CE=DE=a，运用锐角三角函数的定义，解方程可得a=2，再在△ACE中，运用余弦定理，计算即可得到所求值．

解答 解：连接OE，可得OE⊥CE，
AB切圆O于点A，可得AB⊥AC，
设CE=DE=a，
在直角三角形ABC中，cosC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{6}{5+2a}$，
在直角三角形COE中，cosC=$\frac{CE}{CO}$=$\frac{a}{3}$，
由$\frac{6}{5+2a}$=$\frac{a}{3}$，即为2a²+5a-18=0，
解得a=2（负的舍去），
在△ACE中，AE²=CE²+CA²-2CE•CA•cosC
=4+36-2×2×6×$\frac{2}{3}$=24，
可得AE=2$\sqrt{6}$．
故答案为：2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查圆的切线的性质和勾股定理，以及三角形的余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．