Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）为椭圆C上的点．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 若直线y=kx+b（k≠0）与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线过定点M（$\frac{1}{3}$，0），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和P的坐标满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线方程代入椭圆方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，求得线段AB的中点坐标，求得AB的垂直平分线方程，代入中点坐标，化简整理，可得k的不等式，解不等式即可得到所求k的范围．

解答 解：（Ⅰ）依题意，得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，消去y，
得（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，
依题意△=（8kb）²-4（3+4k²）（4b²-12）＞0，
即b²＜3+4k²，
而x₁+x₂=-$\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}$，则y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=$\frac{6b}{3+4{k}^{2}}$，
所以线段AB的中点坐标为（-$\frac{4kb}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3b}{3+4{k}^{2}}$）．
因为线段AB的垂直平分线的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{1}{3}$）．
所以（-$\frac{4kb}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3b}{3+4{k}^{2}}$）在直线y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{1}{3}$）上，
即$\frac{3b}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（-$\frac{4kb}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{1}{3}$）．
故4k²+3kb+3=0，则有b=-$\frac{1}{3k}$（3+4k²），
所以$\frac{（3+4{k}^{2}）^{2}}{9{k}^{2}}$＜3+4k²，
故k²＞$\frac{3}{5}$．解得k＜-$\frac{\sqrt{15}}{5}$或k＞$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
所以实数k的取值范围是（-∞，-$\frac{\sqrt{15}}{5}$）∪（$\frac{\sqrt{15}}{5}$，+∞）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线的斜率的取值范围，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及中点坐标公式，两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．