Question

18．已知圆C：x²+y²-2x-2y+m=0与两坐标轴都相切，点P在直线l：3x-4y+11=0上，过点P的直线PA，PB与圆C相切于A，B两点．
（1）求四边形PACB面积的最小值；
（2）直线l上是否存在点P，使得∠APB=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）圆的方程化为标准方程，利用圆C：x²+y²-2x-2y+m=0与两坐标轴都相切，求出m．四边形PACB面积最小时，PA最小，则CP最小，当且仅当CP垂直于直线l时，CP最小，即可求四边形PACB面积的最小值；
（2）若∠APB=90°，则CP=$\sqrt{2}$，利用CP最小为$\frac{|3-4+11|}{\sqrt{9+16}}$=2，即可得出结论．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-2x-2y+m=0可化为（x-1）²+（y-1）²=2-m，
∵圆C：x²+y²-2x-2y+m=0与两坐标轴都相切，
∴m=1．
四边形PACB面积最小时，PA最小，则CP最小，当且仅当CP垂直于直线l时，CP最小，最小为$\frac{|3-4+11|}{\sqrt{9+16}}$=2，
∴PA=$\sqrt{3}$，
∴四边形PACB面积的最小值为2×$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
（2）若∠APB=90°，则CP=$\sqrt{2}$，
∵CP最小为$\frac{|3-4+11|}{\sqrt{9+16}}$=2，
∴不否存在点P，使得∠APB=90°．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．