Question

6．已知a≥3，函数F（x）=min{2|x-1|，x²-2ax+4a-2}，其中min（p，q）=$\left\{\begin{array}{l}{p，p≤q}\\{q，p＞q}\end{array}\right.$
（Ⅰ）求使得等式F（x）=x²-2ax+4a-2成立的x的取值范围
（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）
（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a≥3，讨论x≤1时，x＞1，去掉绝对值，化简x²-2ax+4a-2-2|x-1|，判断符号，即可得到F（x）=x²-2ax+4a-2成立的x的取值范围；
（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x-1|，g（x）=x²-2ax+4a-2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定义，可得F（x）的最小值；
（ii）分别对当0≤x≤2时，当2＜x≤6时，讨论F（x）的最大值，即可得到F（x）在[0，6]上的最大值M（a）．

解答 解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1时，
x²-2ax+4a-2-2|x-1|=x²+2（a-1）（2-x）＞0；
当x＞1时，x²-2ax+4a-2-2|x-1|=x²-（2+2a）x+4a=（x-2）（x-2a），
则等式F（x）=x²-2ax+4a-2成立的x的取值范围是[2，2a]；
（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x-1|，g（x）=x²-2ax+4a-2，
则f（x）_min=f（1）=0，g（x）_min=g（a）=-a²+4a-2．
由-a²+4a-2=0，解得a=2+$\sqrt{2}$（负的舍去），
由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，
即m（a）=$\left\{\begin{array}{l}{0，3≤a≤2+\sqrt{2}}\\{-{a}^{2}+4a-2，a＞2+\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；
当2＜x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}
=max{2，34-8a}=max{F（2），F（6）}．
则M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{34-8a，3≤a≤4}\\{2，a＞4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．