Question

15．设函数f（x）=x³+$\frac{1}{x+1}$，x∈[0，1]，证明：
（Ⅰ）f（x）≥1-x+x²
（Ⅱ）$\frac{3}{4}$＜f（x）≤$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，1-x+x²-x³=$\frac{1{-（-x）}^{4}}{1-（-x）}$，利用放缩法得$\frac{1{-x}^{4}}{1+x}$≤$\frac{1}{1+x}$，即可证明结论成立；
（Ⅱ）利用0≤x≤1时x³≤x，证明f（x）≤$\frac{3}{2}$，再利用配方法证明f（x）≥$\frac{3}{4}$，结合函数的最小值得出f（x）＞$\frac{3}{4}$，即证结论成立．

解答 解：（Ⅰ）证明：因为f（x）=x³+$\frac{1}{x+1}$，x∈[0，1]，
且1-x+x²-x³=$\frac{1{-（-x）}^{4}}{1-（-x）}$=$\frac{1{-x}^{4}}{1+x}$，
所以$\frac{1{-x}^{4}}{1+x}$≤$\frac{1}{1+x}$，
所以1-x+x²-x³≤$\frac{1}{x+1}$，
即f（x）≥1-x+x²；
（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x³≤x，
所以f（x）=x³+$\frac{1}{x+1}$≤x+$\frac{1}{x+1}$=x+$\frac{1}{x+1}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{（x-1）（2x+1）}{2（x+1）}$+$\frac{3}{2}$≤$\frac{3}{2}$；
由（Ⅰ）得，f（x）≥1-x+x²=${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，
且f（$\frac{1}{2}$）=${（\frac{1}{2}）}^{3}$+$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{19}{24}$＞$\frac{3}{4}$，
所以f（x）＞$\frac{3}{4}$；
综上，$\frac{3}{4}$＜f（x）≤$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．