Question

14．已知函数f（x）=sin²$\frac{ωx}{2}$+$\frac{1}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{8}$]
• B． （0，$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{5}{8}$，1）
• C． （0，$\frac{5}{8}$]
• D． （0，$\frac{1}{8}$]∪[$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{8}$]

Answer 1

分析 函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（ωx-\frac{π}{4}）$，由f（x）=0，可得$sin（ωx-\frac{π}{4}）$=0，解得x=$\frac{kπ+\frac{π}{4}}{ω}$∉（π，2π），因此ω∉$（\frac{1}{8}，\frac{1}{4}）$∪$（\frac{5}{8}，\frac{5}{4}）$∪$（\frac{9}{8}，\frac{9}{4}）$∪…=$（\frac{1}{8}，\frac{1}{4}）$∪$（\frac{5}{8}，+∞）$，即可得出．

解答 解：函数f（x）=$si{n}^{2}\frac{ωx}{2}$+$\frac{1}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{1-cosωx}{2}$+$\frac{1}{2}$sinωx$-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（ωx-\frac{π}{4}）$，
由f（x）=0，可得$sin（ωx-\frac{π}{4}）$=0，
解得x=$\frac{kπ+\frac{π}{4}}{ω}$∉（π，2π），
∴ω∉$（\frac{1}{8}，\frac{1}{4}）$∪$（\frac{5}{8}，\frac{5}{4}）$∪$（\frac{9}{8}，\frac{9}{4}）$∪…=$（\frac{1}{8}，\frac{1}{4}）$∪$（\frac{5}{8}，+∞）$，
∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，
∴ω∈$（0，\frac{1}{8}]$∪$[\frac{1}{4}，\frac{5}{8}]$．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．