Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若4S_n=（2n-1）a_n+1+1，且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$，数列{c_n}的前n项和为T_n．
①求T_n；
②对于任意的n∈N^*及x∈R，不等式kx²-6kx+k+7+3T_n＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）充分利用已知4S_n=（2n-1）a_n+1+1，将式子中n换成n-1，然后相减得到a_n与a_n+1的关系，利用累乘法得到数列的通项，
（2）①利用裂项求和，即可求出T_n，
②根据函数的思想求出$\frac{n}{2n+1}$≥$\frac{1}{3}$，问题转化为kx²-6kx+k+8＞0恒成立，分类讨论即可．

解答 解：（1）∵4S_n=（2n-1）a_n+1+1，
∴4S_n-1=（2n-3）a_n+1，n≥2
∴4a_n=（2n-1）a_n+1-（2n-3）a_n，
整理得（2n+1）a_n=（2n-1）a_n+1，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{2n-1}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{3}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-1}{2n-3}$
以上各式相乘得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=2n-1，又a₁=1，
所以a_n=2n-1，
（2）①∵c_n=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
②由①可知T_n=$\frac{n}{2n+1}$，
∴$\frac{n}{2n+1}$≥$\frac{1}{3}$，
∵kx²-6kx+k+7+3T_n＞0恒成立，
∴kx²-6kx+k+8＞0恒成立，
当k=0时，8＞0恒成立，
当k≠0时，则得$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△=36{k}^{2}-4k（k+8）＜0}\end{array}\right.$，解得0＜k＜1，
综上所述实数k的取值范围为[0，1）．

点评 本题考查了利用累乘法求数列的通项公式，裂项求和，数列的函数特征，以及不等式恒成立，属于中档题．