Question

3．已知定义在R上的函数f（x）满足（x+6）+f（x）=0，函数y=f（x-1）关于点（1，0）对称，则f（2016）=0．

Answer 1

分析 函数f（x）满足（x+6）+f（x）=0，f（x+12）+f（x+6）=0，可得f（x+12）=f（x）．函数y=f（x-1）关于点（1，0）对称，可得函数f（x）的图象关于原点对称．因此f（0）=0．于是f（2016）=f（12×167+12）=f（12）．

解答 解：∵函数f（x）满足（x+6）+f（x）=0，∴f（x+12）+f（x+6）=0，∴f（x+12）=f（x）．
∴函数f（x）的周期T=12．
函数y=f（x-1）关于点（1，0）对称，∴函数f（x）的图象关于原点对称．
∴f（-x）=-f（x），
∴f（0）=0．
∴f（12）=f（0）=0．
则f（2016）=f（12×167+12）=f（12）=0．
故答案为：0．

点评 本题考查了函数的周期性与奇偶性、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．