Question

11．已知集合A={x|0＜ax+1≤3}，集合B={x|-$\frac{1}{2}＜$x＜2}
（1）若a=1，求∁_AB；
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入不等式化简集合A，然后由补集运算求得∁_AB；
（2）分类求解集合A，由A∩B=A，得A⊆B，再由两集合端点值间的关系列式求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，A={x|0＜x+1≤3}={x|-1＜x≤2}，
又B={x|-$\frac{1}{2}＜$x＜2}，
∴∁_AB={x|-1$＜x≤-\frac{1}{2}$}∪{2}；
（2）A={x|0＜ax+1≤3}，
若a=0，则A=R，不合题意；
若a＜0，则A={x|0＜ax+1≤3}={x|$\frac{2}{a}≤x＜-\frac{1}{a}$}，B={x|-$\frac{1}{2}＜$x＜2}，
由A∩B=A，得A⊆B，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{a}＞-\frac{1}{2}}\\{-\frac{1}{a}≤2}\end{array}\right.$，解得a＜-4；
若a＞0，则A={x|0＜ax+1≤3}={x|$-\frac{1}{a}＜x≤\frac{2}{a}$}，B={x|-$\frac{1}{2}＜$x＜2}，
由A∩B=A，得A⊆B，则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}≥-\frac{1}{2}}\\{\frac{2}{a}＜2}\end{array}\right.$，解得a≥2．
综上，实数a的取值范围是（-∞，-4）∪[2，+∞）．

点评 本题考查交集、并集、补集的混合运算，考查了分类讨论的数学思想方法，考查数学转化思想方法，明确两集合端点值间的关系是解答该题的关键，是中档题．