Question

14．比较大小：${2}^{\frac{1}{3}}$与${2}^{\frac{1}{2}}$，${3}^{\frac{1}{3}}$与${2}^{\frac{1}{3}}$，${3}^{\frac{1}{3}}$与${2}^{\frac{1}{2}}$，$\frac{2}{3}$与log₅3．

Answer 1

分析 由指数函数的单调性比较${2}^{\frac{1}{3}}$与${2}^{\frac{1}{2}}$的大小；由幂函数的单调性比较${3}^{\frac{1}{3}}$与${2}^{\frac{1}{3}}$的大小；化分数指数幂为根式比较${3}^{\frac{1}{3}}$与${2}^{\frac{1}{2}}$的大小；把$\frac{2}{3}$化为对数式比较与log₅3的大小．

解答 解：由y=2^x为定义域内的增函数，且$\frac{1}{3}＜\frac{1}{2}$，得${2}^{\frac{1}{3}}$＜${2}^{\frac{1}{2}}$；
由y=${x}^{\frac{1}{3}}$为定义域内的增函数，且3＞2，得${3}^{\frac{1}{3}}$＞${2}^{\frac{1}{3}}$；
由${3}^{\frac{1}{3}}$=$\root{3}{3}=\root{6}{9}$，${2}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}=\root{6}{8}$，且$\root{6}{9}＞\root{6}{8}$，得${3}^{\frac{1}{3}}$＞${2}^{\frac{1}{2}}$；
∵$\frac{2}{3}$=$lo{g}_{5}{5}^{\frac{2}{3}}$=$lo{g}_{5}\root{3}{25}$，log₅3=$lo{g}_{5}\root{3}{27}$，
∴$\frac{2}{3}$＜log₅3．

点评 本题考查不等式的大小比较，考查了指数函数幂函数的运算性质，训练了根式与分数指数幂的互化，是中档题．