Question

10．已知|$\overrightarrow{AB}$|=1，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，则$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• B． -$\frac{\sqrt{6}}{6}$
• C． 1
• D． -1

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$|可得AB⊥AC，建立平面直角坐标系，求出各向量的坐标，代入公式计算即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$|，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$．即$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$．
以A为坐标原点，以AB，AC为坐标轴建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（1，0），C（0，$\sqrt{5}$），∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{5}$），
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-1，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{6}$．
∴$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{6}}=-\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．