Question

8．已知α，β∈（-$\frac{π}{4}$，0），且3sinβ=sin（2α+β），4$\sqrt{3}$tan$\frac{α}{2}$=tan²$\frac{α}{2}$-1，求α+β的值．

Answer 1

分析 利用二倍角的正切公式求出tanα=-$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，利用角的变换，条件化为tan（α+β）=2tanα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．根据α，β∈（-$\frac{π}{4}$，0），即可求α+β的值．

解答 解：∵4$\sqrt{3}$tan$\frac{α}{2}$=tan²$\frac{α}{2}$-1，
∴tanα=-$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，
∵3sinβ=sin（2α+β），
∴3sin[（α+β）-α]=sin[α+（α+β）]，
∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β），
∴sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β），
∴tan（α+β）=2tanα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵α，β∈（-$\frac{π}{4}$，0），
∴α+β∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴α+β=-$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查二倍角公式，和差的正弦公式，考查学生的计算能力，正确配角是关键．