Question

4．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，△ABD≌△PBD，可以理解为△PBD是由△ABD绕着BD旋转得到的，对于每段固定的AD，底面积BCD为定值，要使得体积最大，△PBD必定垂直于平面ABC，此时高最大，体积也最大．

解答 解：如图，M是AC的中点．
①当AD=t＜AM=$\sqrt{3}$时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，
DM=$\sqrt{3}$-t，由△ADE∽△BDM，可得$\frac{h}{1}=\frac{t}{\sqrt{（\sqrt{3}-t）^{2}+1}}$，∴h=$\frac{t}{\sqrt{（\sqrt{3}-t）^{2}+1}}$，
V=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•（2\sqrt{3}-t）•1•$$\frac{t}{\sqrt{（\sqrt{3}}-t）^{2}+1}$=$\frac{1}{6}•$$\frac{3-（\sqrt{3}-t）^{2}}{\sqrt{（\sqrt{3}-t）^{2}+1}}$，t∈（0，$\sqrt{3}$）
②当AD=t＞AM=$\sqrt{3}$时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，
DM=t-$\sqrt{3}$，由等面积，可得$\frac{1}{2}•AD•BM=\frac{1}{2}•BD•AH$，∴$\frac{1}{2}•t•1=\frac{1}{2}\sqrt{（t-\sqrt{3}）^{2}+1}$，
∴h=$\frac{t}{\sqrt{（\sqrt{3}-t）^{2}+1}}$，
∴V=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•（2\sqrt{3}-t）•1•$$\frac{t}{\sqrt{（\sqrt{3}}-t）^{2}+1}$=$\frac{1}{6}•$$\frac{3-（\sqrt{3}-t）^{2}}{\sqrt{（\sqrt{3}-t）^{2}+1}}$，t∈（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）
综上所述，V=$\frac{1}{6}•$$\frac{3-（\sqrt{3}-t）^{2}}{\sqrt{（\sqrt{3}-t）^{2}+1}}$，t∈（0，2$\sqrt{3}$）
令m=$\sqrt{（\sqrt{3}-t）^{2}+1}$∈[1，2），则V=$\frac{1}{6}•\frac{4-{m}^{2}}{m}$，∴m=1时，V_max=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大．