Question

13．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min，生产一个骑兵需7min，生产一个伞兵需4min，已知总生产时间不超过10h，若生产一个卫兵可利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元，怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

分析 假设生产卫兵x个，生产骑兵y个，则生产伞兵（100-x-y）个，于是利润为z=5x+6y+3（100-x-y）=2x+3y+300．利用生产时间和生产个数限制列出约束条件，作出平面区域，根据线性规划知识求出最优解．

解答 解：假设生产卫兵x个，生产骑兵y个，则生产伞兵（100-x-y）个．
则$\left\{\begin{array}{l}{5x+7y+4（100-x-y）≤600}\\{0≤x≤100}\\{0≤y≤100}\\{0≤100-x-y≤100}\\{x，y，z∈N}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+3y≤200}\\{0≤x≤100}\\{0≤y≤100}\\{0≤x+y≤100}\end{array}\right.$．
作出平面区域如图所示：

设每天的利润为z，则z=5x+6y+3（100-x-y）=2x+3y+300．
∴y=-$\frac{2}{3}x$-100+$\frac{z}{3}$．
由平面区域可知当直线y=-$\frac{2}{3}x$-100+$\frac{z}{3}$经过点B时，截距最大，即z最大．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y=100}\\{x+3y=200}\end{array}\right.$，解得x=y=50．
∴当x=y=50时，z取得最大值2×50+3×50+300=550．
答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时，利润最大，最大利润为550元．

点评 本题考查了简单线性规划的应用，列出约束条件，得出目标函数是解题的关键，属于中档题．