Question

19．已知函数f（x）=x-$\frac{a}{x}$的定义域为（0，1]（a∈R）．
（1）若a=1，求f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）是定义域上的减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出a=1时f（x）的导数，可得f（x）在（0，1]递增，即可得到所求最大值；
（2）求出导数，可得f′（x）≤0在（0，1]恒成立，运用参数分离和二次函数的最值求法，可得a的范围．

解答 解：（1）f（x）=x-$\frac{1}{x}$，导数f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
可得f（x）在（0，1]递增，
即有f（x）在x=1处取得最大值，且为0；
（2）函数f（x）=x-$\frac{a}{x}$的导数为f′（x）=1+$\frac{a}{{x}^{2}}$，
由题意可得f′（x）≤0在（0，1]恒成立，
即有a≤-x²在（0，1]恒成立，
由-x²在（0，1]递减，可得-x²在（0，1]的最小值为-1．
即有a≤-1．
则实数a的取值范围为（-∞，-1]．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查参数的取值范围的求法，注意运用不等式恒成立思想，考查化简整理的运算能力，属于中档题．