Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和圆O：x²+y²=b²，若C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足∠APB=60°，则椭圆C的离心率的取值范围是

[

3

2

，1)

．

Answer 1

分析：利用O、P、A、B四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，综合分析即可求得椭圆C的离心率的取值范围．

解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，
∵∠APB=60°，
∠APO=∠BPO=30°，
在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，
∴cos∠AOP=

b

|OP|

=

1

2

，
∴|OP|=

b

1 2

=2b，
∴b＜|OP|≤a，
∴2b≤a，
∴4b²≤a²，即4（a²-c²）≤a²，
∴3a²≤4c²，
即

c2

a2

≥

3

4

，
∴

3

2

≤e，又0＜e＜1，
∴

3

2

≤e＜1，
∴椭圆C的离心率的取值范围是[

3

2

，1）．
故答案为：[

3

2

，1）．

点评：本题考查椭圆的离心率，考查四点共圆的性质及三角函数的概念，考查转化与方程思想，属于难题．