【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,BC=2AD,PB⊥AC,Q是线段PB的中点.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面PAC;
(Ⅱ)求证:AQ∥平面PCD.
【答案】证明:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,AC,AB平面ABCD,
∴PA⊥AC,PA⊥AB,
∵PB⊥AC,AP⊥AC,PA,PB平面PAB,PA∩PB=P,
∴AC⊥平面PAB,
∵AB平面PAB,
∴AC⊥AB,PA⊥AB,PA,AC平面PAC,PA∩AC=A;
∴AB⊥平面PAC.
(Ⅱ)取PC中点E,连结QE,ED,
∵Q是线段PB的中点,E是PC的中点,
∴QE∥BC,BC=2AD,
∴QE∥AD,QE=AD,
∴四边形AQED是平行四边形,
∴AQ∥DE,
∵AQ∥ED,ED平面PCD,
∴AQ∥平面PCD.
【解析】(Ⅰ)根据线面垂直的性质及PA⊥平面ABCD推断出PA⊥AC,PA⊥AB,进而利用PB⊥AC,推断出AC⊥平面PAB,利用线面垂直性质可知AC⊥AB,再根据PA⊥AB,PA,AC平面PAC,PA∩AC=A推断出AB⊥平面PAC.
(Ⅱ)取PC中点E,连结QE,ED,推断出QE为中位线,判读出QE∥BC,BC=2AD,进而可知QE∥AD,QE=AD,判断出四边形AQED是平行四边形,进而可推断出AQ∥DE,最后根据线面平行的判定定理证明出AQ∥平面PCD.
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【题目】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=4,点E为AB中点.
(1)求证:BD1∥平面A1DE;
(2)求证:A1D⊥平面ABD1 .
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【题目】以下四个命题中正确的个数是( ) (1.)若x∈R,则x2+ ≥x;
(2.)若x≠kπ,k∈Z,则sinx+ ≥2;
(3.)设x,y>0,则 的最小值为8;
(4.)设x>1,则x+ 的最小值为3.
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】如图所示的几何体中,四边形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面ABE,已知AB=2,AE=BE= ,且当规定正视图方向垂直平面ABCD时,该几何体的侧视图的面积为 .若M,N分别是线段DE、CE上的动点,则AM+MN+NB的最小值为
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【题目】《九章算术》中有这样一则问题:“今有良马与弩马发长安,至齐,齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里;弩马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎弩马.”则现有如下说法:
①弩马第九日走了九十三里路;
②良马前五日共走了一千零九十五里路;
③良马和弩马相遇时,良马走了二十一日.
则以上说法错误的个数是( )个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】如图四边形ABCD,AB=BD=DA=2.BC=CD= ,现将△ABD沿BD折起,使二面角A﹣BD﹣C的大小在[ , ],则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是( )
A.[0, ]∪( ,1)
B.[ , ]
C.[0, ]
D.[0, ]
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【题目】如图,在几何体P﹣ABCD中,平面ABCD⊥平面PAB,四边形ABCD为矩形,△PAB为正三角形,若AB=2,AD=1,E,F 分别为AC,BP中点.
(Ⅰ)求证EF∥平面PCD;
(Ⅱ)求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值.
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