Question

【题目】已知圆：和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线．

(Ⅰ)求曲线的方程；

(Ⅱ)四边形的顶点在曲线上，且对角线均过坐标原点，若 .

(i) 求的范围；(ii) 求四边形的面积.

Answer 1

【答案】（I） ；（II）(i) ， (ii)

【解析】

（I）求出圆M的圆心，半径，通过动圆P经过点N且与圆M相切，设动圆P半径为r，则 |PM|．曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆．求解即可;

(Ⅱ)把直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示及目标即可得到结果.

（I）圆的圆心为，半径为，点在圆内，因为动圆经过点且与圆相切，所以动圆与圆内切。设动圆半径为，则 .

因为动圆经过点，所以, ,所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆. 由，得，所以曲线的方程为．

（II）当直线AB的斜率不存在时，，所以的最大值为2.

当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为，设

联立，得

,

∵

=

因此，

(ii)设原点到直线AB的距离为d，则

.