Question

3．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点F到准线l的距离为2，点P为抛物线C上的动点．
（1）若|PF|=3，求△POF的面积；
（2）过点F作直线PF的垂直线交准线于点Q，求证：直线PQ与抛物线C有且仅有一个公共点．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点和准线，可得p=2，进而得到焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得P的坐标，再由三角形的面积公式，即可得到所求；
（2）设P（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），求得PF的斜率，由垂直的条件可得QF的斜率，求得QF的方程，代入y=-1，可得Q的坐标，求得PQ的斜率，再由导数求得切线的斜率，即可得证．

解答 解：（1）抛物线C：x²=2py的焦点F（0，$\frac{p}{2}$），准线为y=-$\frac{p}{2}$，
点F到准线l的距离为p=2，
即有抛物线的方程为x²=4y，F（0，1），l：y=-1，
若|PF|=3，则y_P+1=3，即y_P=2，解得x_P=±2$\sqrt{2}$，
则△POF的面积为S=$\frac{1}{2}$|OF|•|x_P|=$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$；
（2）证明：设P（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），k_PF=$\frac{\frac{{m}^{2}}{4}-1}{m-0}$=$\frac{{m}^{2}-4}{4m}$，
由QF⊥PF，可得k_QF=-$\frac{4m}{{m}^{2}-4}$，
直线QF的方程为y=$\frac{4m}{4-{m}^{2}}$x+1，
令y=-1，可得x=$\frac{{m}^{2}-4}{2m}$，
即Q（$\frac{{m}^{2}-4}{2m}$，-1），
直线PQ的斜率为$\frac{\frac{{m}^{2}}{4}+1}{m-\frac{{m}^{2}-4}{2m}}$=$\frac{1}{2}$m，
由y=$\frac{1}{4}$x²的导数为y′=$\frac{1}{2}$x，
可得P点处切线的斜率为$\frac{1}{2}$m，
故PQ为抛物线的切线，
即有直线PQ与抛物线C有且仅有一个公共点．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系：相切，以及直线垂直的条件和直线的斜率公式的运用，属于中档题．