Question

19．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（6-a）x-4a\\{log_a}x\end{array}\right.\begin{array}{l}（x＜1）\\（x≥1）\end{array}$满足[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0对任意定义域中的x₁，x₂成立，则实数a的取值范围是$[\frac{6}{5}，6）$．

Answer 1

分析 函数是一个分段函数，函数f（x）在其定义域内是单调增函数，故函数在每一段上是增函数，在整个定义域内也是增函数，再比较端点值即可．

解答 解：∵[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0对任意定义域中的x₁，x₂成立，
∴函数f（x）在其定义域内是单调增函数，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（6-a）x-4a\\{log_a}x\end{array}\right.\begin{array}{l}（x＜1）\\（x≥1）\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6-a＞0}\\{a＞1}\\{lo{g}_{a}1≥6-a-4a}\end{array}\right.$，
解得$\frac{6}{5}$≤a＜6，
故答案为：[$\frac{6}{5}$，6）

点评 本题考查增函数的定义，对数函数、一次函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想．