Question

已知集合A的元素全为实数，且满足：若a∈A，则

1+a

1-a

∈A．
（1）若a=-3，求出A中其它所有元素；
（2）0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数a∈A，再求出A中的所有元素？
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论．

Answer 1

分析：（1）把a=-3代入

1+a

1-a

，得出数值后再代入该式，直至数字重复出现；
（2）把0代入后验证，结果出现1，而1在分母无意义，第二步可以尝试一个尽量与1、-1、1无关的实数验证；
（3）分析（1）（2）中的四个值得特点得出结论．

解答：解：（1）由a=-3，则

1+a

1-a

=

1-3

1-(-3)

=-

1

2

，
因为-

1

2

∈R，所以

1+(- 1 2 )

1-(- 1 2 )

=

1

3

，
又

1

3

∈R，所以

1+ 1 3

1- 1 3

=2，
2∈R，所以

1+2

1-2

=-3，以下循环出现，
所以a=-3时，集合A中其它所有元素为：-

1

2

，

1

3

，2；
（2）若0∈A，则

1+0

1-0

=1∈A，继续把1代入

1+a

1-a

，该式无意义，所以0不是集合A的元素，
取a=3，则

1+a

1-a

=

1+3

1-3

=-2，
-2∈R，所以

1+(-2)

1-(-2)

=-

1

3

，

1

3

∈R，所以

1+(- 1 3 )

1-(- 1 3 )

=

1

2

，

1

2

∈R，则

1+ 1 2

1- 1 2

=3，
以下循环，所以3是集合A中的元素；
（3）由（1）（2）得出：集合A中有四个元素，其中每两个元素互为负倒数，且四个元素的积为1．

点评：本题考查了元素与集合关系的判断，是一个探究性与规律性的问题，解答的关键是计算仔细，分析特点找规律．