Question

如下图所示，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a,PA⊥平面ABCD，PA=1.

（1）在BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？说明理由.

（2）若BC边上有且仅有一个点Q，使PQ⊥QD，求AD与平面PDQ所成角的正弦值.

（3）在（2）的条件下，能求出平面PQD与平面PAB所成的角的大小吗？

Answer 1

解:（1）假设BC边上存在Q点，使得PQ⊥QD，则连结AQ，必有∠AQD=90°,故问题转化为:在边BC上是否存在点Q，使得∠AQD=90°?

    由平面几何知识，问题又可转化为:以AD为直径作圆，是否与BC边有交点？

易知，当AB≤AD，即a≥2时，BC边上存在点Q，使得∠AQD=90°,从而由三垂线定理有PQ⊥QD；

    当AB＞AD，即a＜2时，不存在点Q，使得PQ⊥QD.

（2）当BC边上有且仅有一个点Q，使得PQ⊥QD，可知BC=2，点Q为BC边的中点.

∵DQ⊥AQ，DQ⊥PA，

∴DQ⊥平面PAQ.

∴平面PAQ⊥平面PQD.过A点作AE⊥PQ于E点，连结DE，

∴AE⊥平面PDQ.

∴∠ADE为AD与平面PDQ所成的角.

    在Rt△PAQ中，PA·AQ=AE·PQ，

∴AE=.

    在Rt△AED中，sin∠ADE=.

（3）延长DQ、AB交于F点，则二面角D—PF—A即为所求.

∵AD⊥AB，AD⊥PA，

∴AD⊥平面PAB.过A作AH⊥PF于H点，连结DH，则DH⊥PF，

∴∠DHA为二面角D—PF—A的平面角.

    在Rt△PAF中，

∵AH·PF=PA·FA，

∴AH=.

    在Rt△DAH中，tan∠DHA=,

∴∠DHA=arctan.

∴平面PQD与平面PAB所成角为arctan.