Question

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为２，宽为１，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如下图所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上.

（1）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；

（2）求折痕的长的最大值.

Answer 1

解：（1）①当k=0时,此时A点与D点重合,折痕所在的直线方程y=.

②当k≠0时，设A点落在线段DC上的点A′(x₀,1)，

(0≤x₀≤2),则直线OA′的斜率k_OA′=,

∵折痕所在直线垂直平分OA′,

∴k_OA′·k=-1,

∴·k=-1,∴x₀=-k.

又∵折痕所在的直线与OA′的交点坐标（线段OA′的中点）

为M(, )，

∴折痕所在的直线方程y-=k(x+)，即y=kx++，

由①②得折痕所在的直线方程为：y=kx++(-2≤k≤0).

（2）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为E(0,),F(,0).

由（1）知，k=-x₀，

∵0≤x₀≤2，∴-2≤k≤0,

设折痕长度为d，所在直线的倾斜角为θ,

①当k=0时，此时A点与D点重合,折痕的长为2；

②当-2≤k＜0时，

设a=，b=,

0＜a≤|AB|=2时，l与线段AB相交，此时-2≤k≤-2+，

a＞|AB|=2时，l与线段BC相交，此时-2+＜k＜0,

0＜b≤1时，l与线段AD相交，此时-1≤k＜0,

b＞1时，l与线段DC相交，此时-2≤k＜-1,

∴将k所在的区间分为３个子区间：

a.当-2≤k＜-1时，折痕所在的直线l与线段DC、AB相交，

折痕的长d=,

∴≤d＜,

b.当-1≤k≤-2+时，折痕所在的直线l与线段AD、AB相交，

折痕的长d=,

令g′(x)≥0,即k³+≥0,

即2k⁶+3k⁴-1≤0,

即（k²+1）²(k²-)≤0.

∵-1≤k≤-2+,

∴解得≤k≤-2+,

令g′(x)≤0,解得-1≤k≤,

故当-1≤k≤时，g(x)是减函数；当≤k≤-2+时，g(x)是增函数，

∵g(-1)=2,g(-2+)=4(8-4),

∴g(-1)＜g(-2+),

∴当k=-2+时，g(-2+)=4(8-4).

d=.

∴当-1≤k≤-2+时，d≤；

c.当-2+＜k＜0时，折痕所在的直线l与线段AD、BC相交，

折痕的长d=,

∴2＜l＜,即2＜l＜2(),

综上所述得，当k=-2+3时，折痕的长有最大值，最大值为2().