Question

【题目】已知函数，，为自然对数的底数.

（1）当时，证明：，；

（2）若函数在上存在两个极值点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

（1）将带入解析式,求得导函数,并判断当时函数的单调性,根据函数单调性求得函数在时的最小值,即可证明.

（2）先求得导函数,讨论在的不同取值范围内函数的单调情况,根据函数的单调情况判断其极值的个数,即可求得实数的取值范围.

（1）证明:当时,,则,

当时,,则,又因为,

所以当时,,仅时,,

所以在上是单调递减,所以,即.

（2）,因为,所以,,

①当时,恒成立,所以在上单调递增,没有极值点.

②当时,在区间上单调递增,

因为,.

当时,时,

所以在上单调递减,没有极值点.

当时,,所以存在,使

当时,,时,

所以在处取得极小值,为极小值点.

综上可知,若函数在上存在极值点,则实数.